미분가능(Differentiable)의 의미
미분가능하다"는 말은,
어떤 함수가 주어진 어떤 점에서도 그 기울기(변화율)를 계산할 수 있다는 뜻입니다.
직관적으로 생각해보면, 당신이 산을 오를 때, 각 위치에서 발을 디딜 다음 방향(기울기)를 알 수 있다면, 그 산은 '미분가능한' 산이라고 볼 수 있습니다. 이 기울기는 당신이 가장 높은 정상에 도달하기 위해 어느 방향으로 나아가야 할지를 알려줍니다.
함수가 미분가능하다는 것은, 우리가 이 함수의 최소값이나 최대값을 찾기 위한 방향(경사도)을 계산할 수 있다는 것을 의미합니다. 즉, 어떤 지점에서 함수의 기울기를 바탕으로 다음에 나아갈 방향을 결정할 수 있다는 뜻입니다.
미분 가능하다는 건 정상에 도달하기 위한 방향을 안다는 것인지 아니면 방향을 세세하게 조절할 수 있다는 것인지?
사실 두 가지 의미를 모두 포함합니다. 하지만, 더 정확히 말하자면, "방향을 세세하게 조절할 수 있다"는 의미에 더 가깝습니다. 이 개념을 두 가지 관점에서 살펴보겠습니다:
방향을 안다는 것
미분 가능하다는 것은, 특정 지점에서의 함수의 기울기(또는 변화율)을 알 수 있다는 것을 의미합니다. 이 기울기는 우리에게 해당 지점에서 함수가 증가하는 방향이나 감소하는 방향을 알려줍니다. 즉, 만약 최적화 문제(예를 들어, 가장 높은 점에 도달하거나 가장 낮은 점을 찾는 문제)를 해결하려 한다면, 기울기는 우리가 원하는 목표(최대값 또는 최소값)에 도달하기 위해 어느 방향으로 나아가야 하는지를 알려줍니다.
방향을 세세하게 조절할 수 있다는 것
더 중요한 것은, 미분 가능성이 우리에게 방향뿐만 아니라 그 방향으로 얼마나 "강하게" 나아가야 하는지(즉, 기울기의 크기)에 대한 정보도 준다는 점입니다. 이것은 우리가 어떤 경로를 따라 목표에 도달하기 위해 각 단계에서 얼마나 멀리 또는 가까이 이동해야 하는지를 결정할 수 있게 해줍니다.
예를 들어, 산을 오를 때, 어떤 지점에서 산의 경사가 매우 가파르다면, 그것은 우리가 정상에 가까워지고 있다는 신호일 수 있고, 조금 더 조심스럽게, 더 작은 발걸음으로 이동해야 함을 의미할 수 있습니다. 반대로, 경사가 완만하다면, 우리는 더 큰 발걸음으로 안전하게 이동할 수 있습니다. 이러한 방식으로, 미분 가능성은 우리가 각 단계에서 어떻게 조정해야 하는지에 대한 구체적인 가이드를 제공합니다.
일반적으로 "이동해야 하는 거리" 또는 "조정의 정도"를 결정할 수 있다는 바와 같습니다.
미분 가능하다는 것은 함수의 기울기를 계산할 수 있다는 뜻이고, 이 기울기는 두 가지 중요한 정보를 우리에게 제공합니다:
- 방향: 기울기의 부호(양수 또는 음수)는 최적화하고자 하는 목표에 도달하기 위해 파라미터를 증가시켜야 하는지, 감소시켜야 하는지에 대한 방향을 알려줍니다.
- 크기(또는 강도): 기울기의 절대값(크기)는 해당 방향으로 얼마나 "강하게" 또는 "멀리" 이동해야 하는지에 대한 정보를 제공합니다. 기울기가 크다면, 우리가 조정해야 할 파라미터의 변화량도 커야 한다는 것을 의미합니다. 반대로, 기울기가 작다면 더 세밀한 조정이 필요하다는 뜻입니다.
예를 들어, 만약 어떤 함수에서 특정 지점의 기울기가 큰 양수라면, 이는 우리가 그 파라미터를 크게 감소시켜야 최소값에 더 가까워질 수 있다는 것을 의미합니다. 반대로, 기울기가 작은 양수라면, 파라미터를 조금만 감소시켜도 됩니다.
따라서, 미분 가능성은 우리가 목표(예: 손실 함수를 최소화)에 도달하기 위해 필요한 파라미터 조정의 방향뿐만 아니라 그 크기 또는 정도도 결정할 수 있게 해줍니다. 이는 특히 복잡한 모델을 최적화할 때 매우 중요한데, 이를 통해 모델의 성능을 점진적으로 개선해 나갈 수 있기 때문입니다.